［第64回］　三女の涙と「＋」「－」

　＃三女の涙と正負数の加減算

　三女の通う中学校は、今週が学校公開ウイーク。授業は全て公開されており、いつ行っても構わない。
　中一の三女が苦手にしている数学の授業参観を見てきてもらった。
　正負の数字の、加算と減算についての授業だったらしい。

　そこで、彼女一人が最後まで課題が解けずにいた。
　そして授業後、一人 泣いていた、と。

　少人数クラスでもあり、先生たちの教え方やフォローの仕方自体に問題があるわけでは無い。普通の教え方をし、個別に様子も見てくれる。

　帰ってから本人に、何がうまくできなかったのか聞いたところ、根本的なところの納得がいっていなかったようだった。
　例えば、
　・5－（-3）だと、－と-を両方取って＋にしろ、と言う
　・じゃあ、5＋（+3）だと、＋と+を両方取って、どうするのか。なぜ+なのか？
　・（-3）＋3だと、先頭だから括弧は取って良いという。括弧って取ったり付けたり、なんなんだ？

　いちいちそういうことがよく分かんなくて、でも言われたとおりにやろうとして、考え込み...

　でもその話を聞いて、初めて気がついた。
　演算子である「＋」「－」と、数字の正負を表す記号である「+」「-」が、全く同じであることのおかしさを。

　社会に出ると、負を表す符号は△であったりもする。 これなら演算子と間違えずに分かりやすい。
　なのになぜ、一般の数学は、数学らしからぬ、こんな混同を許したのだろう。 厳密さこそが数学の命だというのに。
　せめて演算子のときはタス、ヒクとのみ読ませる（*1）とかなかったもんかねぇ。

（*1）因みに教科書には、加減算演算子と正負符号の区分までは書いてある。但し、読み方は｢両方ともプラス、マイナスで構わない｣とも。残念

　＃演算子のややこしさ

　本当は、正負符号も演算子の一種である。
　｢単項演算子｣と呼ばれるもので、一つの数字に対して作用する。√（ルート）もsin（サイン）もcos（コサイン）も、みんなそうだ。
　でも、それら演算子の、数字との位置関係は微妙である。
　基本は数字の前に、単項演算子を置く。でも、！（階乗）みたいに後ろに置いたり、｜｜（絶対値）みたいに真ん中に挟んだり、も。

　加減算を含む、四則演算は｢二項演算子｣。二つの数字を操作するものだ。
　これも色々な書き方をする。多いのは＋－×÷のように、二つの数字の真ん中に置く方法。でも、＜ , ＞（内積）や［ , ］（ブラケット）のように挟むものも、ある。
　なんでこんなにややこしいのか。

　いや、そうではない。
　昔はもっともっとややこしかったのだ。これらは数学が数千年を掛けて創り上げてきた、この世を記述するための、書式なのだ。

　＃｢計算しやすさ｣によるアラビア数字世界制覇

　世界を書き表すために、文学と数学が生まれた。そして、数学の基礎はもちろん、数字の表記法である。
　楔形文字や古代エジプトの象形文字に始まって、マヤ文明での絵数字、ローマ字でのⅠⅡⅢⅣⅤⅥ...ⅨⅩといった表記（*2）まで。数字はさまざまに表現されてきた。
　しかしそれらは、インドが作りアラビアが広めた｢アラビア数字｣によって全て、淘汰された。
　 それは、アラビア数字の表記が簡単でかつ、計算がしやすかったからだ。

　中世において産業が発達するにつれ、大きな数を扱うことが増えてきた。それも四則演算を駆使して。
　そのとき、ローマ数字では桁数を合わせることが難しく、ただの掛け算すら非常な手間が掛かる。
　一方、｢0｣を導入し桁数を明示したアラビア数字では、筆算が非常に簡単（*3）にできる。
　9世紀にヨーロッパに伝えられたアラビア数字は、13世紀以降『算盤の書』の出版とともに、急速に広まっていく。

（*2）ローマ数字。I, V, X, L, C, D, Mはそれぞれ1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000を表す

　（*3）筆算よりも速い算盤が発達･普及していた中国文化圏では、アラビア数字の導入が最も遅かった

　＃｢＋｣｢－｣の誕生。そして...

　加減算を表す記号としては、古代エジプト ヒエログリフの時代から｢Λ｣のようなカタチのものが使われていたが、ラテン語アルファベット文化の下ではPlusの｢P｣とMinusの｢M｣が使われた。
　そして15世紀末になってようやく｢＋｣や｢－｣がそれらの省略形として発明（？）され、定着した。

　正負符号にはもっと長い苦難の歴史がある。そもそも｢負の数｣という概念が、西洋文明に受け入れられなかったからだ。
　中国では紀元前から、インドでも7世紀頃には負の数を用いた計算が行われていた。特にその理解を進めたのはインドであり、数学・天文学者 ブラーマグプタによる『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（628年）ではゼロ数の定義とともに、正の数が財産で、負の数が借金、という表現もされている。
　しかし西洋においては｢負の数とは非現実的なものである｣と数学者が断じ、負数を｢うその数｣として存在を否定し続けた。もともと数字が、物の数を数えるために用いられたため、｢マイナス1個のリンゴとは何か｣に答えきれなかったのだ。
　それをようやく乗り越えたのが、数学・哲学者のデカルト（*4）だった。17世紀のことだった。
　因みにブラーマグプタは負数を表現する記号として、数の上に点を打つ、を採用していた。そのままだったら良かったのに...（*5）。

（*4）｢我思う、故に我あり｣で有名なデカルトは、近代哲学の父であると同時に、解析幾何学の創始者であった

　（*5）月面のクレーター｢ティコ｣にその名を残す天文学者 ティコ･ブラーエが負数を-Xと書き始めたとか

　＃数直線上の旅人 ｢タス君｣と｢ヒク君｣

　三女向けに、正負数の加減算の説明を、考えた。浮き沈みで説明しようかとか、色々考えたが結局、数直線（*6）上の旅人風にしてみた。

　演算子としての「＋」はタス君。この子は正の向きに歩いて行く。
　何歩歩くかは、その後ろの数字が決める。正だったらそのまま、負だったら後ろ向きに。
　だから
　・ ＋3だったら、正の方向に3歩。
　・ ＋（-3）だったら、正の方を向きながらも、後ろに3歩！

　演算子としての「－」はヒク君。この子は負の向きに歩いて行く。
　・ －3だったら、負の向きに3歩。
　・ －（-3）だったら、負の向きを向きながら、後ろ、つまり正の方へ3歩。
　よって、
　＋（-3）と－3は同じ。＋3と－（-3）は同じ。

　明日、これで伝えてみよう。

　こんなことを考えていると、きっとただの計算ドリルはスゴく遅くなる。
　でもね、それはそれで素晴らしい。
　演算子としての＋－と、数字の正負号である+-の混同に違和感を覚えるなんて、なんて素晴らしいこと。
　そのままでもいい。負けるな、ガンバレ！

参考：『数学大好きにする"オモシロ数学史"の授業３０』（上垣渉 編著）

（*6）数直線という概念を考えたのが、デカルト その人